贡献者： _Eden_; addis
- 本文处于草稿阶段。
- 应该由浅入深，矢势放到后面。添加例题。
1磁通量的一个直观的含义是，通过空间中一个曲面的磁感线的条数，对于匀强磁场而言，如果磁场 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 与平面法向量 $ \boldsymbol{\mathbf{S}} $ 的夹角为 $\theta$，且平面面积为 $S$，那么通过该平面的磁通量为 $| \boldsymbol{\mathbf{B}} |S \cos\theta = \boldsymbol{\mathbf{B}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{S}} $。
将上述结果推广到任意曲面，以及非匀强磁场的情况。
令空间中磁感应强度为 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 我们可以通过曲面积分来定义一个通过某曲面的磁通量（magnetic flux）为
\begin{equation}
\Phi = \int \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } ~.
\end{equation}
形象来说，磁通量也可以看作是磁感线通过曲面的条数。反方向的磁感线共线为负，和正方向磁感线抵消。
磁通量只与曲面的边界有关。设有两个曲面 $S_1$ 和 $S_2$ 的边界都是 $C$，而曲面 $S_1,S_2$ 围成的一个闭曲面 $S$（没有边界），穿过这个闭曲面的磁通量为
\begin{equation}
\int_{S_2} \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } - \int_{S_1} \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } = \int_{S} \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } =\int_V \boldsymbol{\mathbf{\nabla}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} \,\mathrm{d}{V} =0~.
\end{equation}
在最后我们利用了磁场的高斯定律
（$ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 的散度恒为零），以及高斯散度定理
$\int_S \boldsymbol{\mathbf{V}} \cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } =\int_V \boldsymbol{\mathbf{\nabla}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} \,\mathrm{d}{V} $。由此我们得到了
\begin{equation}
\int_{S_1} \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} }
=
\int_{S_2} \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } ~.
\end{equation}
由此我们利用了磁场的高斯定律证明了磁通量只与曲面的边界 $C$ 有关。
1. 穿过曲面的磁通量与磁矢势
利用磁场矢势的定义 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} =\nabla\times \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 及旋度定理，磁通量变为
\begin{equation}
\Phi = \int \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } = \oint \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } ~.
\end{equation}
磁矢势 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的定义正是由于磁场的散度为零。因此从上式再次可以看出，如果选定一个闭合回路，以该闭合回路为边界的任何曲面的磁通量都相等，只与沿闭合回路的磁矢势的积分有关。
2. 闭合线圈的磁通量
如何计算一个通电闭合线圈对自己产生的磁通量呢？假设电流为 $I$，利用磁场矢势公式
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} \left( \boldsymbol{\mathbf{r}} \right) = \frac{\mu_0 I}{4 \pi} \oint \frac{ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} '} }{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert }~.
\end{equation}
注意在该积分中，$ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 视为常量，积份完后，积分变量 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 消失。现在根据
式 4 再次将上式对 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 进行同一环路积分得到磁通量
\begin{equation}
\Phi = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \oint\oint \frac{ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} '} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } }{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert }~.
\end{equation}
值得注意的是，对于理想导线（足够细的）组成的通电闭合回路，上式实际上是不良定义的，因为当 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 与 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} '$ 距离趋于 $ \boldsymbol{\mathbf{0}} $ 时，积分是发散的。也可以从磁通量的角度理解，通电细导线附近的磁场强度与垂直导线方向的距离成反比，离导线越近的地方磁场越强，当距离趋于零时磁场无穷大，这将导致闭合线圈对自己产生的磁通量为无穷大，从而导致许多电学磁学方面的悖论（比如感生电动势也将趋于无穷大）。
如何解决这个问题呢？上面的问题实际上反映了 “理想导线” 这一理想模型的缺陷，它并不能完备地给出所有问题的解释。现实中的导线都是有一定粗细的，电流通过导线时有一定的横截面积，而这保证了闭合线圈通电时对自己产生的磁通量是有限的，不会出现无穷大。也就是说，我们可以取 “导线粗细” 作为理论的一个位置空间上的 “截断”，那么式 6 中 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 与 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} '$ 距离趋于 $ \boldsymbol{\mathbf{0}} $ 的部分不会对结果有贡献，最终磁通量的计算结果是有限的。
1. ^ 参考 [1] 和 Wikipedia 相关页面。
[1] ^ David Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 4ed
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