傅里叶变换

                     

贡献者: addis

预备知识 1 傅里叶级数(指数),傅里叶变换(三角)

   用三角傅里叶变换 中同样的方法可把指数傅里叶级数的区间长度 $l$ 取极限后拓展为指数傅里叶变换

\begin{equation} g(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi }} \int_{-\infty }^{+\infty } f(x) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} kx} \,\mathrm{d}{x} ~, \end{equation}
\begin{equation} f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi }} \int_{-\infty }^{+\infty } g(k) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} kx} \,\mathrm{d}{k} ~. \end{equation}
当 $f(x)$ 为实函数时,$g(k)$ 的实部是偶函数,虚部是奇函数。

1. 实数函数的傅里叶变换

   上述傅里叶变换中,$g(k)$ 需要满足什么条件才能使 $f(x)$ 是实函数呢?实函数的充要条件是 $f(x) = f^*(x)$,代入式 1

\begin{equation} g(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi }} \int_{-\infty }^{+\infty } f^*(x) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} kx} \,\mathrm{d}{x} ~. \end{equation}
两边取复共轭,得
\begin{equation} g^*(k) = g(-k)~. \end{equation}
所以对于实数函数的傅里叶变换,往往只需要 $k$ 的正半轴。上式就是 $f(x)$ 为实函数的充要条件,要证明充分性,将其代入式 2 可得 $f(x) = f^*(x)$。

例 1 高斯分布的傅里叶变换

   要计算高斯函数

\begin{equation} f(x) = \mathrm{e} ^{-ax^2} \quad (a > 0)~ \end{equation}
的傅里叶变换,代入式 1 并使用例 2
\begin{equation} g(k) = \frac{1}{\sqrt{2a}} \exp\left(-\frac{k^2}{4a}\right) ~, \end{equation}
一个方便的记忆法是 $x^2$ 前的系数乘以 $k^2$ 前的系数相乘等于 $1/4$。

例 2 

  

\begin{equation} f(x) = \begin{cases} \exp\left( \mathrm{i} k_0 x\right) \cos^2(ax) & ( \left\lvert x \right\rvert < \frac{\pi}{2a})~.\\ 0 & (\text{其他}) \end{cases} \end{equation}
则傅里叶变换为
\begin{equation} g(k) = \frac{\sqrt{2\pi}a}{4a^2 - (k - k_0)^2} \operatorname{sinc} \left[\frac{\pi (k - k_0)}{2a} \right] ~, \end{equation}
其中 $ \operatorname{sinc} $ 函数见相关页面

例 3 方波

   区间 $[-l,l]$,高为 $1$ 的单个方波,

\begin{equation} g(k) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{ \sin\left(lk\right) }{k}~. \end{equation}

2. 证明

预备知识 2 狄拉克 delta 函数

  

未完成:以下证明可能存在问题,需要专业人士审核
以下的证明可以用矢量空间和基底的概念得到更深刻的理解,详见 “傅里叶变换与连续正交归一基底”。

   我们把式 2 看作定义,用狄拉克 $\delta$ 函数来证明式 1 ,反之同理。把式 2 代入式 1

\begin{equation} g(k) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \left[\int_{-\infty}^{+\infty} g(k') \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k' x} \,\mathrm{d}{k'} \right] \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} k x} \,\mathrm{d}{x} ~. \end{equation}
这就是我们需要证明的。我们把无穷的积分上下限改写为极限,即
\begin{equation} \begin{aligned} g(k) = \frac{1}{2\pi} \lim_{n\to\infty}\int_{-n}^{n} \left[\lim_{m\to\infty} \int_{-m}^{m} g(k') \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k' x} \,\mathrm{d}{k'} \right] \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} k x} \,\mathrm{d}{x} ~. \end{aligned} \end{equation}
如果内极限可以移动到两个积分外,有
未完成:极限和积分交换的条件是什么?是否满足?
\begin{equation} \begin{aligned} g(k) = \frac{1}{2\pi} \lim_{n\to\infty} \lim_{m\to\infty} \int_{-n}^{n}\int_{-m}^{m} g(k') \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} (k'-k) x} \,\mathrm{d}{k'} \,\mathrm{d}{x} ~. \end{aligned} \end{equation}
我们假设 $g(k')$ 在 $[-m,m]$ 内绝对值可积,那么有限区间的重积分可以交换顺序,变为
\begin{equation} \begin{aligned} &\quad\frac{1}{2\pi} \lim_{n\to\infty} \lim_{m\to\infty} \int_{-m}^{m} g(k') \int_{-n}^{n} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} (k'-k) x} \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{k'} \\ &= \lim_{n\to\infty} \lim_{m\to\infty} \int_{-m}^{m} g(k') \delta_n(k'-k) \,\mathrm{d}{k'} \\ &= \lim_{n\to\infty} \int_{-\infty}^{\infty} g(k') \delta_n(k'-k) \,\mathrm{d}{k'} \\ &= g(k)~. \end{aligned} \end{equation}
第二个等号中,$\delta_n$ 是例 2 中的 delta 函数列,最后一步使用了其性质式 9 。证毕。

   注意这里要求对每个 $n=1,2,\dots$ 积分 $\int_{-\infty}^{\infty} g(k') \delta_n(k'-k) \,\mathrm{d}{k'} $ 都收敛。只有满足该要求的函数才适用该证明。

3. 性质

   为了书写方便我们用算符 $\mathcal F$ 和 $\mathcal F^{-1}$ 表示傅里叶变换和反变换,即 $\mathcal F f = g$ 以及 $\mathcal F^{-1} g = f$。算符在这里可以看作 “函数的函数”,即自变量和函数值都是函数。

   平移性质:

\begin{equation} \mathcal F [f(x) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k_0 x}] = g(k - k_0)~. \end{equation}
\begin{equation} \mathcal F[f(x - x_0)] = g(k) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} k x_0}~. \end{equation}
也就是说,给函数乘以 $ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k_0 x}$ 因子再做傅里叶变换,等于先对函数做傅里叶变换,再向右平移 $k_0$;给函数再向右平移 $x_0$ 再做反傅里叶变换,等于先对函数做傅里叶变换,再乘以 $ \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} x_0 k}$。证明留做习题。

   变换前后模长不变:

\begin{equation} \int_{-\infty}^{+\infty} g(k)^* g(k) \,\mathrm{d}{k} = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)^* f(x) \,\mathrm{d}{x} ~. \end{equation}

   函数拉伸的傅里叶变换:

\begin{equation} \mathcal F[f(ax)] = \frac{1}{a} g \left(\frac{k}{a} \right) ~. \end{equation}
也就是说把函数在 $x$ 方向压缩 $a$ 倍后,各个频率都变大 $a$ 倍,所以傅里叶变换会在 $k$ 方向拉伸 $a$ 倍,另外归一化不变性易得系数 $1/a$。

   导数的傅里叶变换:

\begin{equation} \mathcal F [f'(x)] = \mathrm{i} k g(k)~, \end{equation}
同理
\begin{equation} \mathcal F^{-1} [g'(k)] = - \mathrm{i} x f(x)~. \end{equation}

   作为式 16 的拓展,有

\begin{equation} \int_{-\infty}^{+\infty} f_1(x)^* f_2(x) \,\mathrm{d}{x} = \int_{-\infty}^{+\infty} g_1(k)^* g_2(k) \,\mathrm{d}{k} ~. \end{equation}
这可以理解为傅里叶变换不改变内积,所以是一个无穷维空间中的幺正变换

   如果 $f_1(x)$ 可以在 $x = 0$ 泰勒展开,有

\begin{equation} \mathcal{F}[f_1(x) f_2(x)] = f_1 \left( \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial{k}} \right) g_2(k)~. \end{equation}
如果 $g_1(k)$ 可以在 $k = 0$ 泰勒展开,有
\begin{equation} \mathcal{F}^{-1}[g_1(k) g_2(k)] = g_1 \left(- \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial{x}} \right) f_2(x)~. \end{equation}
注意式 18 式 19 是该性质的特殊情况(令式 21 中 $f_1(x) = x$,式 22 中 $g_1(k) = k$)。记忆方法:在傅里叶变换外面的 $ \mathrm{i} \partial/\partial k $ 相当于傅里叶变换里面的 $x$,反傅里叶变换外面的 $- \mathrm{i} \partial/\partial x $ 相当于反傅里叶变换里面的 $k$。

   平均值:

\begin{equation} \left\langle k \right\rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} k \left\lvert g(k) \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}{x} = \int_{-\infty}^{+\infty} f^*(x) \left(- \mathrm{i} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \right) f(x) \,\mathrm{d}{x} ~. \end{equation}
\begin{equation} \left\langle x \right\rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} x \left\lvert f(x) \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}{x} = \int_{-\infty}^{+\infty} g^*(k) \left( \mathrm{i} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{k}} \right) g(k) \,\mathrm{d}{k} ~. \end{equation}
推导参考 “平均值(量子力学)”。

   不确定性原理:

\begin{equation} \sigma_x \sigma_k \geqslant \frac{1}{2}~. \end{equation}
其中 $\sigma_x, \sigma_k$ 分别是 $f(x), g(k)$ 的标准差。推导参考量子力学的 “不确定性原理”。

4. 性质的证明

   证明式 16 :把傅里叶变换看成傅里叶级数在 $l \to \infty$ 时的极限,使用式 14 ,右边的求和在极限下变为积分即可证明。详细过程留做习题。

   证明式 18 式 19 同理):对式 2 关于 $x$ 求导得

\begin{equation} f'(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi }} \int_{-\infty }^{+\infty } [ \mathrm{i} kg(k)] \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} kx} \,\mathrm{d}{k} ~. \end{equation}
把方括号看作一整个 $k$ 的函数,那么上式对应的反变换为
\begin{equation} \mathrm{i} kg(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi }} \int_{-\infty }^{+\infty } f'(x) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} kx} \,\mathrm{d}{x} = \mathcal F [f'(x)]~. \end{equation}
其中 $g(k) = F [f(x)]$,证毕。

   证明式 21 式 22 同理):过程和式 18 类似,等式右边为

\begin{equation} \begin{aligned} & \quad \frac{1}{\sqrt{2\pi }} f_1 \left( \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial{k}} \right) \int_{-\infty }^{+\infty } f_2(x) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} kx} \,\mathrm{d}{x} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi }} \int_{-\infty }^{+\infty } f_2(x) f_1 \left( \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial{k}} \right) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} kx} \,\mathrm{d}{x} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi }} \int_{-\infty }^{+\infty } f_1(x) f_2(x) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} kx} \,\mathrm{d}{x} ~. \end{aligned} \end{equation}


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