电磁场的规范变换

                     

贡献者: addis; 叶月2_

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预备知识 电磁场标势和矢势

  1虽然标势和矢势可以唯一确定电磁场,但是同一个电磁场却可能对应不同的标势和矢势。这是因为在麦克斯韦方程中,有物理意义的是 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} , \boldsymbol{\mathbf{B}} $。我们只需保证:尽管改变四维电磁矢势 $(\varphi, \boldsymbol{\mathbf{A}} )$,也对应相同的 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} , \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 即可。

   由于 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} = \boldsymbol{\mathbf{B}} $,利用函数的梯度是一个无旋场,我们可以令 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} '=A+ \boldsymbol\nabla \lambda$,则

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{B}} ' = \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} ' = \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} + \boldsymbol\nabla \lambda) = \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} = \boldsymbol{\mathbf{B}} ~. \end{equation}
如果 $\lambda$ 随时间变化,式 1 中的电场会改变。因此我们需要同时修正 $\varphi$,才能确保变换后电场也不改变。可以发现只需要令 $\varphi' = \varphi - \partial \lambda/\partial t $ 即可
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{E}} ' = - \boldsymbol\nabla \varphi' - \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{A}} '}{\partial t} = - \boldsymbol\nabla \left(\varphi - \frac{\partial \lambda}{\partial t} \right) - \frac{\partial}{\partial{t}} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} + \boldsymbol\nabla \lambda) = \boldsymbol{\mathbf{E}} ~. \end{equation}

   这种 “保持电磁场不变时,对势 $ \begin{pmatrix}\varphi, \boldsymbol{\mathbf{A}} \end{pmatrix} $ 进行的变换” 被称为规范变换(gauge transformation)

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} & \boldsymbol{\mathbf{A}} ' = \boldsymbol{\mathbf{A}} + \boldsymbol\nabla \lambda\\ &\varphi' = \varphi - \frac{\partial \lambda}{\partial t} ~. \end{aligned}\right. \end{equation}
任何产生相同电磁场的两组标势矢势都可以通过规范变换联系起来。

   除此以外,考虑到 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 只有散度有意义,因此我们可以限定 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的结果来简化麦克斯韦方程。 基于此,常见的两种规范是库仑规范洛伦兹规范


1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面


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