贡献者： addis
1. 哈密顿量
拉格朗日力学中使用 $N$ 个广义坐标 $q_1,\dots,q_N$ 和 $N$ 个广义速度 $\dot q_1,\dots,\dot q_N$ 来描述力学系统的状态，我们分别简记为 $q$ 和 $\dot q$。而在哈密顿力学中，系统的状态由广义坐标和对应的 $N$ 广义动量（generalized momentum） $p_1, \dots, p_N$，来描述，简记为 $p$。我们定义广义动量为（式 15 ）
\begin{equation}
p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} \qquad (i = 1,\dots,N)~,
\end{equation}
$p$ 也可以叫做
正则动量（canonical momentum）或者
共轭动量（conjugate momentum）。
定义系统的哈密顿量（Hamiltonian）为
\begin{equation}
H(q,p,t) = \sum_i \dot q_i p_i - L~,
\end{equation}
其中 $L$ 为拉格朗日量（
式 1 ）。我们在能量积分（
式 10 ）中见到过，但在哈密顿力学中，我们必须要把等式右边的每个 $\dot q_i$ 表示为 $(q,p,t)$ 的函数。这可以通过解方程组
式 1 求得。
从拉格朗日函数 $L$ 变为哈密顿量 $H$ 的这种变换，叫做勒让德变换（Legendre transformation）。
2. 哈密顿量与能量
当拉格朗日量 $L$ 等于系统动能减势能时，哈密顿量等于系统能量。所以当我们在构建一个系统的拉格朗日量时，往往不需要做勒让德变换，而是直接用广义坐标和广义动量写出系统能量。另外，
证明
将系统看做质点系，由于 $L = T - V$ 且 $V$ 与 $\dot q$ 无关，有
\begin{equation}
p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} = \frac{\partial}{\partial{\dot q_i}} \sum_j \frac12 m_j \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_j^2
= \sum_j m_j \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_j \frac{\partial \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_j}{\partial \dot q_i}
= \sum_j m_j \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_j \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} _j}{\partial q_i} ~,
\end{equation}
其中最后一步利用了
式 5 。所以
\begin{equation}
\sum_i \dot q_i p_i = \sum_j m_j \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_j \sum_i \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} _j}{\partial q_i} \frac{\mathrm{d}{q_i}}{\mathrm{d}{t}}
= \sum_j m_j \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_j^2 = 2T~,
\end{equation}
其中第二步用到了 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _j(q_1,\dots,q_N)$ 的全微分
，注意该函数不能显含
$t$。上式代回
式 2 ，有 $H = 2T - (T - V) = T + V$ 即系统总能量。证毕。
3. 哈密顿方程
哈密顿方程（Hamilton's equations）也叫哈密顿正则方程（Hamilton's canonical equations）是一组关于广义坐标和广义动量的微分方程组，共有 $2N$ 条方程：
\begin{equation}
\dot q_i = \frac{\partial H}{\partial p_i} ~,
\qquad
\dot p_i = - \frac{\partial H}{\partial q_i}
\qquad
(i = 1\dots N)
\end{equation}
推导见下文。与拉格朗日方程相比，虽然方程的个数多了一倍，但是方程却由二阶变为了一阶。可见在方程中，$q$ 和 $p$ 是对称的，具有同样的地位。
例 1 直角坐标系中的质点运动
直角坐标系中一个质点的拉格朗日量为 $L = m(\dot x^2 + \dot y^2 + \dot z^2)/2 - V$，易得共轭动量就是通常定义的动量（用 $x_1,x_2,x_3$ 表示 $x, y, z$）
\begin{equation}
p_{x_i} = \frac{\partial L}{\partial \dot x_i} = m\dot x_i \qquad \text{(i = 1,2,3)}~.
\end{equation}
哈密顿量等于总能量（注意要写成 $x_i$ 和 $p_{x_i}$ 的函数，不能含有 $\dot x_i$）为
\begin{equation}
H = \sum_i \frac{p_{x_i}^2}{2m} + V~,
\end{equation}
代入哈密顿方程得
\begin{equation}
\dot x_i = \frac{p_{x_i}}{m}~,
\qquad
\dot p_{x_i} = - \frac{\partial V}{\partial x_i}
\qquad (i = 1,2,3)
\end{equation}
显然上式的第一条是（普通）动量与速度的关系，第二条则是牛顿第二定律。
例 2 中心力场问题
在式 2 的基础上，广义坐标 $r, \theta$ 的广义动量分别为 $p_r = m\dot r$ 和 $L = mr^2\dot \theta$。可以写出质点的哈密顿量（即能量）为
\begin{equation}
H = T + V = \frac12 m(\dot r^2 + r^2 \dot \theta^2) + V(r) = \frac{p_r^2}{2m} + \frac{L^2}{2mr^2} + V(r)~,
\end{equation}
代入哈密顿方程得
\begin{equation}
m\ddot r = mr \dot \theta^2 - \frac{\partial V}{\partial r} ~,
\end{equation}
以及角动量守恒 $\dot L = 0$。
额外的广义力
在 “拉格朗日方程（额外广义力）” 中，我们讨论了若存在额外广义力 $Q_i^{(e)}$ 该如何拓展哈密顿方程。那么同样地，哈密顿正则方程式 5 也可以拓展为
\begin{equation}
\dot q_i = \frac{\partial H}{\partial p_i} ~,
\qquad
\dot p_i = - \frac{\partial H}{\partial q_i} + Q_i^{(e)}
\qquad
(i = 1\dots N)~,
\end{equation}
该式和牛顿三定律是等效的。
4. 哈密顿正则方程的推导
现在推导式 11 。对式 2 全微分，有
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{H} = \sum_i \dot q_i \,\mathrm{d}{p_i} + \sum_i p_i \,\mathrm{d}{\dot q_i} - \,\mathrm{d}{L} ~,
\end{equation}
其中对拉格朗日量全微分为
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{L} = \sum_i \frac{\partial L}{\partial q_i} \,\mathrm{d}{q_i} + \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} \,\mathrm{d}{\dot q_i} + \frac{\partial L}{\partial t} \,\mathrm{d}{t} ~.
\end{equation}
将含广义力的拉格朗日方程（
式 3 ）的右边和广义动量的定义（
式 15 ）代入该式，得
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{L} = \sum_i (\dot p_i - Q_i^{(e)}) \,\mathrm{d}{q_i} + \sum_i p_i \,\mathrm{d}{\dot q_i} + \frac{\partial L}{\partial t} \,\mathrm{d}{t} ~,
\end{equation}
代入
式 12 ，得
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{H} = - \sum_i (\dot p_i - Q_i^{(e)}) \,\mathrm{d}{q_i} + \sum_i \dot q_i \,\mathrm{d}{p_i} - \frac{\partial L}{\partial t} \,\mathrm{d}{t} ~.
\end{equation}
由于 $H$ 是 $p_i, q_i, t$ 的函数，其全微分为
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{H} = \sum_i \frac{\partial H}{\partial q_i} \,\mathrm{d}{q_i} + \sum_i \frac{\partial H}{\partial p_i} \,\mathrm{d}{p_i} + \frac{\partial H}{\partial t} \,\mathrm{d}{t} ~,
\end{equation}
最后，对比以上两式可得哈密顿正则方程的拓展形式（
式 11 ），以及
\begin{equation}
\frac{\partial H}{\partial t} = - \frac{\partial L}{\partial t} ~.
\end{equation}
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