理想气体单粒子能级密度

                     

贡献者: _Eden_; addis

1. 相空间法

   这里只考虑单粒子共 $6$ 个自由度构成的相空间。满足能量 $<\epsilon$ 的状态数为

\begin{equation} \Omega_0 = \frac{1}{h^3}\int\limits_{\sum {p^2} \leqslant 2m\epsilon} \,\mathrm{d}^{3}{q} \,\mathrm{d}^{3}{p} = \frac{V}{h^3}\frac43 \pi {p^3} = \frac{V}{h^3}\frac43 \pi (2m\varepsilon)^{3/2}~. \end{equation}
相空间中的能量密度为 $(\Omega_0(E+\Delta E)-\Omega_0(E))/\Delta E(\Delta E\rightarrow 0)$,即
\begin{equation} a(\varepsilon) = \frac{\mathrm{d}{\Omega_0}}{\mathrm{d}{\varepsilon}} = \frac{2\pi V(2m)^{3/2}}{h^3} \varepsilon^{1/2}~. \end{equation}
对于多粒子体系,也有类似公式式 4

   在这种计算方法中,我们假定了每个状态点占据相空间的体积为 $h^3$(对于单粒子而言)。然而为什么是 $h^3$ 我们不清楚,只是从量子力学的不确定原理给出了一个 “说法”,没有给出证明。下面我们将从量子力学的角度来解释这件事情。

2. 量子力学法

   在量子力学中,束缚态的能级是分立的。盒子对粒子的波函数有一定束缚,可看作是三维的无限深方势阱1。单粒子的能级为

\begin{equation} \varepsilon = \frac{\hbar ^2}{2m} \left[ \left(\frac{\pi n_x}{L_x} \right) ^2 + \left(\frac{\pi n_y}{L_y} \right) ^2 + \left(\frac{\pi n_z}{L_z} \right) ^2 \right] = \frac{\hbar ^2}{2m} (k_x^2 + k_y^2 + k_z^2)~. \end{equation}
在 $k$ 空间中,每个能级所占的体积为
\begin{equation} V_1 = \frac{\pi^3}{L_x L_y L_z} = \frac{\pi^3}{V}~. \end{equation}
$k$ 空间中,能量小于 $E$ 的量子态数为(注意 $n$ 为正值,所以只求一个卦限的体积,要乘 $1/8$)
\begin{equation} \Omega_0 = \left. \frac18\cdot \frac{\hbar^2}{2m}\frac43 \pi k^3 \middle/ \frac{\pi^2}{V} \right. = \frac{V}{h^3}\frac43 \pi(2m\varepsilon)^{3/2}~. \end{equation}
这恰好就是式 1 ,对能量求导得式 2 。于是我们能明白为什么要取相格的体积为 $h^3$,这样推导出的微观状态数才与量子态数相符。


1. ^ 在一些教材中,会用周期性边界条件进行推导,读者不妨尝试一下,两种边界条件退出来的相格的大小都是相同的。


致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

                     

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利