理想气体(微正则系综法)

                     

贡献者: addis; _Eden_

  • 本文处于草稿阶段。
预备知识 理想气体的熵:纯微观分析,热力学关系式

   在微正则系综中,计算体系的熵的方式是,计算能壳 $E\sim E+\Delta E$ 内系统能级的个数,也就是微观状态数,再利用玻尔兹曼公式 $S=k\ln \Omega$ 求解体系的熵。可以将微观状态数除以 $\Delta E$ 来忽略能壳厚度对计算结果的影响。经过一系列计算1,能量为 $E$,粒子数为 $N$,体积为 $V$ 的理想气体的熵的公式(式 19 )为

\begin{equation} S(E, V, N) = k\ln \Omega = Nk \left(\ln \frac{V}{N\lambda^3} + \frac52 \right) ~, \end{equation}
该式被称为 Sackur-Tetrode 公式。其中
\begin{equation} \lambda = \frac{h}{\sqrt{4\pi mE/(3N)}} = \frac{h}{\sqrt{2\pi mkT}}~, \end{equation}

1. 理想气体的热力学量

   微正则系综的精神是,从熵公式出发,利用熵的微分关系得到各个热力学量——温度、压强、化学势,从而可以利用麦克斯韦关系计算其他的热力学势,这样理论所就能推出平衡态热力学系统的一切信息。

   根据熵的微分关系

\begin{equation} \,\mathrm{d}{S} = \frac{1}{T} \,\mathrm{d}{E} + \frac{P}{T} \,\mathrm{d}{V} - \frac{\mu}{T} \,\mathrm{d}{N} ~. \end{equation}
所以对 $S$ 求三个偏导得
\begin{equation} T = \frac{2E}{3Nk}~, \end{equation}
\begin{equation} P = NkT/V~, \end{equation}
\begin{equation} \mu = kT \ln \frac{N\lambda^3}{V}~. \end{equation}


1. ^ 具体计算过程可以参考


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