单摆

贡献者： addis

预备知识 1　简谐振子，匀速圆周运动

　　理想的单摆由一个质点和一个质量不计的细绳（或细杆）组成。绳的一头连接质点，另一头固定不动。我们来对单摆做受力分析。如图 1 ，令质点质量为 $m$，受重力大小为 $mg$，受绳的拉力大小为 $T$。将重力沿与绳平行的方向和垂直的方向正交分解，分力大小分别为 $mg\cos\theta$ 和 $mg\sin\theta$。由于绳的限制，质点只允许做圆周运动，所以绳的拉力与重力平行绳的分量必然提供质点的向心力。

\begin{equation} T - mg\cos\theta = ma_c~. \end{equation}

对于变速圆周运动，向心加速度仍然可以用 $a_c = v^2/L$ 求解，其中 $L$ 是绳长即圆的半径（证明见 “变速圆周运动”）。在求单摆运动时，拉力 $T$ 的大小并不重要，我们更关心的是摆角 $\theta$ 随时间的变化。

图 1：单摆

　　令质点向右运动时速度为正，角速度和速度的关系为 $\dot\theta = v/L$，对其两边求导得角加速度和加速度的关系

\begin{equation} \ddot\theta = a_\theta/L~, \end{equation}

其中 $a_\theta$ 是质点延垂直绳方向的加速度。现在沿垂直绳方向运用牛顿第二定律，并代入上式中的 $a_\theta$ 得

\begin{equation} -mg\sin\theta = ma_\theta = m\ddot\theta L~, \end{equation}

两边消去质量可得摆角 $\theta$ 关于时间的二阶微分方程。

\begin{equation} L\ddot\theta = - g\sin\theta~. \end{equation}

解出该方程即可得到单摆做任意幅度摆动的规律。虽然我们还不知道方程的解，但观察方程可知单摆的运动规律只与摆长 $L$ 和重力加速度 $g$ 有关，而与质点的质量无关。所以改变同一单摆的质量不会改变它的运动规律。

　　遗憾的是，式 4 的解并不能用有限个基本初等函数表示，而是需要使用椭圆积分，有兴趣的读者可参考 “单摆（大摆角）”。我们一般考虑的是一种简单的近似，即单摆进行小的幅度摆动。

1. 小幅度摆动

预备知识 2　小角值极限

　　当 $\theta \to 0$ 时，可以把式 4 中的 $\sin\theta$ 近似为 $\theta$。令质点从最低点到当前位置之间的弧长为 $s$，则有 $s = \theta L$ 和 $\ddot s = a_\theta = \ddot\theta L$，式 4 变为 $s$ 的微分方程

\begin{equation} \ddot s = - \frac gL s~, \end{equation}

观察该式可以发现其结构与简谐振子的微分方程（式 1 ）非常相似。用同样的方法，可得通解为

\begin{equation} s = A \cos\left(\omega t + \varphi_0\right) \qquad \left(\omega = \sqrt{g/L} \right) ~. \end{equation}

考虑到 $\theta \to 0$ 的情况下，圆弧可以近似为线段，所以可以认为此时质点在做一维简谐运动，用坐标 $x$ 代替弧长 $s$。

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