贡献者： addis
1. 横波
我们假设有一根无限长的弦，质量线密度为 $\lambda$，弦的张力（即拉力）为 $T$，弦静止时与 $x$ 轴重合。假设 $t$ 时刻的波函数（即弦的形状）为 $y(x, t)$，且弦的振幅较小，下面我们来求波函数所满足的微分方程，称为一维波动方程。
图 1：“微元法” 分析弦的波动
我们用 “微元法” 的思想，把弦划分为许多小线段，每段长度为 $h$，质量为 $m_i = \lambda h$，且质量都集中在左端的端点 $x_i$ 处。下面我们来考察质点 $m_i$ 的受力情况（图 1 ）。令 $m_{i+1}$ 对 $m_i$ 的拉力方向与 $x$ 轴夹角为 $\theta$，由于弦的波动较小，可以认为 $\theta$ 很小，这样来自 $m_{i+1}$ 的拉力的两个分量为
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
F_x &= T\cos\theta \approx T~,\\
F_y &= T\sin\theta \approx T\tan\theta = T\frac{y(x_i+h) -y(x_i)}{h}~.
\end{aligned}\right. \end{equation}
同理，来自 $m_{i-1}$ 的拉力的两个分量为
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
F'_x &\approx -T~,\\
F'_y &\approx T\frac{y(x_i - h) -y(x_i)}{h}~.
\end{aligned}\right. \end{equation}
把
式 1 和
式 2 相加，得 $m_i$ 受 $x$ 方向的合力为零，$y$ 方向的合力为
\begin{equation}
F_y = T\frac{y(x_i+h) - 2y(x_i) + y(x_i-h)}{h}~.
\end{equation}
结合牛顿定律，并代入 $m_i = \lambda h$，有
\begin{equation}
\lambda \frac{\partial^{2}{y}}{\partial{t}^{2}} = T\frac{y(x_i+h) - 2y(x_i) + y(x_i-h)}{h^2}~.
\end{equation}
注意到 $h$ 很小，由
式 5 可得等式右边为 $T \partial^{2} y/\partial {x}^{2} $。于是我们得到波动方程为
\begin{equation}
\frac{\partial^{2}{y}}{\partial{x}^{2}} - \frac{1}{v^2} \frac{\partial^{2}{y}}{\partial{t}^{2}} = 0~.
\end{equation}
其中
\begin{equation}
v = \sqrt{\frac{T}{\lambda}}~,
\end{equation}
我们稍后会看到 $v$ 就是波的速度
1。
由于这个方程中未知函数 $y(x,t)$ 是一个多元函数，且出现了偏微分，我们把它叫做偏微分方程。
2. 纵波
图 2：一个常见的纵波模型
以上弦模型中的波动显然是一个横波，我们也可以建立一个纵波的模型。如图 2 ，我们假设一条无限长的弹簧上的质量都集中于等间距的 $x_i$，间距为 $h$。若弹簧的平均线密度为 $\lambda$，则每个质点的质量为 $m_i = \lambda h$。为了描述弹簧的弹性，我们令单位长度弹簧的弹性系数为 $k$，则长为 $h$ 的一小段弹簧弹性系数为 $k/h$。若用 $\xi_i$ 来描述 $m_i$ 在 $x$ 方向的位移，我们可以列出 $m_i$ 的运动方程为
\begin{equation}
\lambda h \frac{\partial^{2}{\xi}}{\partial{t}^{2}} = F_i = \frac kh [\xi(x_i + h) - 2\xi(x_i) + \xi(x_i - h)]~.
\end{equation}
同样利用
式 5 得波动方程为
\begin{equation}
\frac{\partial^{2}{\xi}}{\partial{x}^{2}} - \frac{\lambda}{k} \frac{\partial^{2}{\xi}}{\partial{t}^{2}} = 0~.
\end{equation}
3. 方程的解
算符分解法
我们可以先把式 5 记为算符的形式，即
\begin{equation}
\left( \frac{\partial^{2}}{\partial{x}^{2}} - \frac{1}{v^2} \frac{\partial^{2}}{\partial{t}^{2}} \right) y(x, t) = 0~,
\end{equation}
也可以记为
\begin{equation}
\left( \frac{\partial}{\partial{x}} + \frac{1}{v} \frac{\partial}{\partial{t}} \right) \left( \frac{\partial}{\partial{x}} - \frac{1}{v} \frac{\partial}{\partial{t}} \right) y(x, t) = 0~,
\end{equation}
注意两个括号的顺序可以互换。所以我们可以先寻找一阶偏微分方程
\begin{equation}
\left( \frac{\partial}{\partial{x}} \pm\frac{1}{v} \frac{\partial}{\partial{t}} \right) y(x, t) = 0~
\end{equation}
的解得通解为
\begin{equation}
y(x, t) = c_1 f_1(x - ct) + c_2 f_2(x + ct)~,
\end{equation}
其中 $f_i(x)$ 是任意函数。这个通解的物理意义很明确。即一个向右平移的波和一个向左平移的波，速度大小均为 $v$。
傅里叶变换法
未完成：通解可以写成平面波的叠加（积分）。
1. ^ 有些教材也会把式 5 乘以 $-1$ 或者乘以 $c^2$，导致读者分不清系数到底是 $1/c^2$ 还是 $c^2$。一个简单的办法是看量纲，$ \partial/\partial x $ 的量纲是长度分之一，$ \partial/\partial t $ 是时间分之一，而 $v$ 的量纲是速度（长度除以时间）。
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